Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких, как критерий устойчивости Найквиста или Михайлова. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком — необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная вычислительная ошибка). Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы (знаменатель передаточной функции):
Пусть:
— Передаточная функция системы, а U(s)=0 — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином U(s) в виде
где s— переменна Лапласа.
Из коэффициентов характеристического уравнения cтроится определитель Гурвица Δ по алгоритму:
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an;
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Размерность матрицы Гурвица определяется максимальной степенью при s в характеристическом уравнении.
Или явно:
Тогда согласно критерию Гурвица:
Для того чтобы система была устойчива необходимо чтобы определитель матрицы Гурвица был положительным. Также должны быть положительными все главные миноры.
Пример расчета
Передаточная функция:
Коэффициенты характеристической функции:
Определитель Гурвица и главные миноры:
Так как определитель Гурвица и один главный минор имеют отрицательное значение то система неустойчива.