1. Анализ устойчивости
Рассмотрим одномерную стационарную систему управления, поведение которой
описывается дифференциальным уравнением
с начальными условиями
где g( t) и x( t) – входной и выходной сигналы; t0 – начальный момент времени.
В соответствии с представлением выходного сигнала системы в виде суммы
свободного и вынужденного движений: x(t) = xc(t) + xвын(t) вводятся следующие понятия устойчивости системы.
устойчивости системы.
Система управления называется устойчивой по начальным данным (асимптотически устойчивой), если при ненулевых ограниченных начальных условиях
свободное движение xc(t ) ограничено при всех
Система управления называется устойчивой по входу, если при любом ограниченном воздействии g(t) реакция системы xвын(t) является ограниченной в любой
момент времени
Более краткий термин – устойчивая система управления – употребляется, если система устойчива и по входу, и по начальным данным.
Требуется определить, является ли система устойчивой
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
1. Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы корни λi характеристического уравнения
имели отрицательные действительные части: Re(λi)<0, I = 1..n т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (рис. 1).
2. Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения можно использовать критерий Рауса–Гурвица.
Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно,
чтобы при an > 0 угловые миноры Δi матрицы
были положительны:
При заполнении квадратной порядка n матрицы отсутствующие в уравнении коэффициенты a(n-i) и a(i) при i>n заменяются нулями
3. Если система устойчива по начальным данным и порядок m дифференциального оператора
правой части уравнения системы не больше порядка n дифференциального оператора
левой части, т.е. m< n то система устойчива по входу.
Необходимое условие устойчивости. Если система устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки.
З а м е ч а н и я.
1. Первый критерий устойчивости называется прямым, а второй – косвенным,
так как в этом случае процедура анализа устойчивости не требует нахождения корней характеристического уравнения.
2. Коэффициент a(n) в уравнении всегда можно сделать положительным, например, умножая характеристическое уравнение на (-1).
3. Анализ устойчивости элементарных и типовых звеньев систем управления
можно также выполнить, пользуясь определениями и сформулированными критериями. Устойчивыми являются усилительное, апериодическое (при T > 0) и колебательное (при T>0, 0 >ksi< 1) звенья. Дифференцирующее звено не устойчиво по входу, а интегрирующее звено не устойчиво и по входу, и по начальным данным.
Пример 1. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением (апериодическое звено)
Характеристическое уравнение 3*λ+1=0 имеет отрицательный корень λ = -1/3 Кроме того, порядок (m= 0) правой части уравнения меньше порядка (n = 1)
левой части. Согласно первому и третьему критериям система устойчива.
Пример 2. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением
Характеристическое уравнение 4*λ-1=0 имеет положительный корень λ = 1/4. Согласно первому критерию система не является устойчивой.
Пример 3. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением (колебательное звено)
Характеристическое уравнение λ^2+2* λ +1=0 имеет отрицательный (кратный) корень λ = -1. Кроме того, порядок (m =0) правой части уравнения меньше порядка (n=2 ) левой части. Согласно первому и третьему критериям система устойчива.
Пример 4. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением
Характеристическое уравнение λ^2+2* λ -1=0 имеет два корня:
один из которых положительный. Согласно первому критерию система не является устойчивой.
Пример 5. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением
Здесь a3 = 1, a2 = 2 a1 = 3, a0 = 4 . Необходимое условие устойчивости
выполняется. Составим матрицу (1.79):
Вычисляем угловые миноры:
Они положительны, следовательно, по второму критерию заключаем, что система является устойчивой по начальным данным. Кроме того, порядок (m=0 ) правой части уравнения меньше порядка (n= 2) левой части. Согласно третьему критерию система устойчива и по входу, т.е. является устойчивой
Пример 6. При каких значениях параметра k система, описываемая дифференциальным уравнением
будет устойчивой.
Здесь a4 = 1, a3 = 4, a2 = 2, a1 = 3, a0 = k . Необходимое условие устойчивости выполняется, если . k > 0 Составим матрицу:
Для удовлетворения всех условий критерия Рауса–Гурвица должны выполняться следующие неравенства:
Отсюда 0<k<15/16. Кроме того, порядок (m 0) правой части уравнения меньше порядка (n ) левой части. Согласно второму и третьему критериям система устойчива при 0<k<15/16
Пример 7. Найти все положительные значения коэффициента усиления k , при
которых система, заданная структурной схемой (рис.), будет устойчивой.
По структурной схеме составляем дифференциальное уравнение. Уравнения элементов системы в операторной форме имеют вид
Исключая E , получаем уравнение
Составляем матрицу:
и вычисляем ее угловые миноры:
Из условия их положительности заключаем, что при всех k (0..4) система будет устойчива по начальным данным. Так как порядок (n = 3) дифференциального оператора левой части больше порядка ( m = 0) дифференциального оператора правой части, то при k (0..4) система будет устойчива и по входу
2. Многомерные системы. Аналогично одномерным системам рассмотрим качественное поведение многомерных систем, описываемых уравнениями состояния.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается линейная многомерная стационарная система, описываемая
уравнением состояния:
где x – n-мерный вектор состояния; g – r -мерный вектор входных воздействий; t –время; начальный момент времени t0 = 0; x0– начальное состояние; А, В – матрицы размера (n*m), (n*r) соответственно.
Система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение xc(t) (при g(t) = 0) ограничено при ограниченных начальных состояниях и
выполняется условие
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
1. Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно,
чтобы корни λi характеристического уравнения
имели отрицательные действительные части: Re(λi)<0, I = 1..n т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (см. рис. ).
2. Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения, которое записывается в форме, можно использовать критерий Рауса–Гурвица.
Необходимое условие устойчивости. Если система асимптотически устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки.
Пример 8. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениями
Характеристическое уравнение
или λ^2-4 λ -5=0 имеет действительные корни разных знаков: λ 1= 5, λ2 = -1 Согласно первому критерию система не является устойчивой.
Пример 9. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениями
Характеристическое уравнение:
или λ^2+2* λ+1=0 имеет отрицательный корень (кратности 2): λ2 = -1 . Согласно первому критерию система является устойчивой
Пример 10. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениями
Перепишем уравнения системы в матричной форме:
Найдем корни характеристического уравнения. Получим
Отсюда , λ 1= I, λ2 = -i . Действительная часть корней равна нулю. Согласно первому критерию система не является устойчивой.
Анализ управляемости и наблюдаемости
Дана линейная многомерная стационарная система управления, поведение которой описывается уравнениями состояния и выхода:
Система называется вполне управляемой по состоянию, если выбором управляющего воздействия u(t) на промежутке времени [ t0 t1] можно перевести систему из любого начального состояния x(t0) в произвольное заранее заданное конечное состояние x(t1) .
Система называется вполне управляемой по выходу, если выбором управляющего воздействия u (t) на промежутке времени [t0, t1] можно перевести систему из любого начального состояния x(t0) в такое конечное состояние, при котором обеспечивается заранее заданное произвольное значение выхода .
y(t1)
Система называется вполне наблюдаемой, если по реакции y( t) на выходе системы на промежутке времени [t0, t1] при заданном управляющем воздействии u(t) можно определить начальное состояние . x(t0)
КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ
Критерий управляемости по состоянию. Для того чтобы система была
вполне управляемой по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости по состоянию
равнялся размерности вектора состояния
Критерий управляемости по выходу. Для того чтобы система была вполне
управляемой по выходу, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости по выходу
равнялся размерности вектора выхода:
Критерий наблюдаемости. Для того чтобы система была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости
равнялся размерности вектора состояния:
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1. В уравнениях состояния и выхода выделить матрицы А, В, С.
2. Составить матрицу W управляемости по состоянию, матрицу P управляемости по выходу и матрицу наблюдаемости Q.
3. Подсчитать ранги матриц и сделать вывод об управляемости и наблюдаемости на основе соответствующего критерия.